数量关系
解决多者合作的不二法门
行测考试考查的是考生的分析思维能力，需要通过方法技巧提速，摆脱做题慢的现状。行测中数量关系更需要考生把方法融会贯通，学会举一反三。接下来带大家一同看下多者合作的题目如何利用特值方法巧解。
一、题型归纳
1、当已知不同合作方式下的完工时间时，设工作总量为各完工时间的公倍数，一般设为最小公倍数。
例1.一项工程，甲单独做，6天可完成;甲乙合做，2天可完成;则乙单独做，( )天可完成。
A.1.5 B.3 C.4 D.5
【答案】B。解析：设工程量为6，那么甲一天做1，甲、乙一天共做3，可知乙一天做3-1=2。因此乙单独做要6÷2=3天可以完成。
2、当已知不同合作对象的效率比时，根据效率比设效率。
例2.甲、乙、丙三人共同完成一项工作需要6小时。如果甲与乙的效率比为1∶2，乙与丙的效率比为3∶4，则乙单独完成这项工作需要多少小时?（ ）
A.10 B.17 C.24 D.31
【答案】B。解析：由题可知，甲、乙、丙的工作效率之比为 3∶6∶8，则可设 甲、乙、丙的工作效率分别为 3、6、8，故总工作量为(3+6+8)×6，因此乙单独完成这项工作需要(3+6+8)×6÷6=17小时。
二、巩固练习
1.某项工程，甲工程队单独施工需要30天完成，乙工程队单独施工需要25天完成。 甲队单独施工了4天后，改由两队一起施工，期间甲队休息了若干天，最后整个工程共 耗时19天完成，问甲队中途休息了几天?（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
【答案】D。解析：设工程总量为150，则甲效率为5，乙效率为6。乙一共干了19-4=15 天，工作量为15×6=90，剩下150-90=60，需要甲干60÷5=12天，故甲队中途休息了19-12=7天。
2.甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是5∶4∶6。先由甲、乙两人合做6天，再由乙单独做9天，完成全部工作的60%。若剩下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是：（ ）
A.9天 B.11天 C.10天 D.15天
【答案】C。解析：设甲、乙、丙每天完成的工作量分别为5、4、6，甲、乙合作6天完成6×9=54，乙单独做9天完成36，则工程总量为(54+36)÷60%=150。余下150-90=60，丙单独完成需要60÷6=10天，答案为C。
当“年龄”遇到“属相”
在公务员行测考试中，年龄问题是比较常见的一种题型。而在年龄问题中，也会出现和属相相关的题目，让很多考生感觉无从下手。今天，为考生们分享一下如何解决年龄问题中的属相问题。
一、知识铺垫
十二生肖按次序依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，12年一轮，即12年一个周期，属相相同即年龄差为12的整数倍。
二、例题展示
【例题1】上一个虎年老王和小赵的年龄和为54岁，上上个虎年老王年龄是小赵年龄的6倍多。如两人年龄均按出生的阴历年份计算，且出生的当个阴历年为0岁，则老王出生于：（ ）
A.鼠年 B.虎年 C.龙年 D.马年
【解析】两个连续虎年之间差12岁，则上上个虎年老王和小赵的年龄和为54-12×2=30，且老王年龄是小赵年龄的6倍多，30÷(6+1)=4……2;故此时小赵4岁，老王26岁，则老王上4个虎年时2岁。由生肖顺序推算可知，老王出生于鼠年。故本题答案为A。
【例题2】一家三口人的属相和生日都相同，父母的岁数之和是儿子的6倍，而儿子尚未满15岁。问妈妈可能多少岁?（ ）
A.30岁 B.36岁 C.40岁 D.42岁
【解析】设儿子的年龄为x，则根据属相相同的年龄差距，父母的年龄可分别设为x+12m、x+12n，依题意得2x+12(m+n)=6x，即x=3(m+n)，结合实际情况m、n≥2，x至少为12，此时妈妈年龄为12+24=36岁。故本题答案为B。
【例题3】某业务处长和科员两人属相相同，科员在第一个本命年时处长是第三个本命年。科员今年20岁，当处长年龄是科员年龄的2倍时，需要经过的时间是：（ ）
A.7年 B.4年 C.5年 D.6年
【解析】由题意可知，处长与科员的年龄差为24，当处长年龄是科员年龄的2倍时，科员的年龄应为他们的年龄差，即24岁。科员今年20岁，到24岁需要经过的时间是4年。故本题答案为B。
在解年龄问题中的属相问题时，要根据相同属相年龄相差为12的整数倍这一条件，构建等量关系求解，快去找些题目练习一下吧。
行测利润问题：一升一降，什么时候会最大呢
在行测备考的时候，遇到利润问题，大家心里肯定还是能够接受的，当往下做的时候，总是会遇到一些意外，这有点小问题，那有点不一样，那么利润问题如何做起来高效，并且能够做对呢?今天跟着一起来看一看利润问题，有的时候我们也可以做出来的，只要掌握其中的技巧，同样可以把题目求解出来。我们来看一道题目，来体会一下利润问题是如何求解的。
例：某商店出售A商品，若每天卖100件，则每件可获利6元，根据经验，若A商品每件涨1元钱，每天就少卖10件，为使每天获利最大化，A商品应涨价：（ ）
A.6元 B.4元 C.2元 D.10元
解析：这道题目说了一件什么事呢?就是A商品每件涨价就会导致数量卖出的减少，那么在什么时候可以获得利润最大化呢?实际上类似这样的问题，我们可以假设涨价x元，实际的利润为y，那么实际的利润就应该等于涨价后单个的利润乘以之后的数量，因此可以得到：y=(6+x)(100-10x)，得到了这样一个一元二次方程，那么如何求解y的最大值呢?可能有的人会想到高中所学的对称轴，最大值最小值的复杂公式，如果用公式算的话，可以求解，但是在计算上面计算量还是比较大的，所以我们想用一个简单的方法来把问题求解出来。怎么来求解呢?有两个括号，我们让第一个括号里面的式子等于0，求解出一个x=-6，再让第二个括号里面的式子等于0，求解出第二个x=10，那么取两个数的平均数2，就是当x=2的时候获得最大的利润。那么本道题就可以求解出来了，答案就选择C选项。如果问题问其他的也是一样，如果问获得最大利润时的销量为多少，那么就是100-10x=80件，所以x求解出来后，不管后面问什么问题，我们都可以进行求解。
其实我们可以看到，这道题目我们怎么做的呢?我们实际上就是把所求用未知数x来进行表示，然后对于x的取值进行简单求解，求解的方法也是比较简单，容易让大家熟记。因此这类题目希望各位备考的考生能够用对方法，快速的把问题求解清楚。利润问题并不可怕，找准方向即可求解出相应的结果。最后希望大家能够跟上我们的脚步，每天都有所收获。
“多条件”排列组合问题
排列组合问题在公务员行测考试的时候，很多同学是不予考虑直接放弃的，一直给大家留下了“排列组合很难”的固化印象，而实际上很多排列组合问题依照模型来做，可以说列式简单、计算量又小，也可以说是一种极其省时间的题型，所以，如果能掌握多条件的排列组合问题，那么就可以多做一道数量关系题。
我们在做多条件的排列组合问题时，重点就在于对条件的整理，我们都知道，在排列组合的时候有一些基础方法：优限法(优先考虑有绝对限制条件的元素)、捆绑法(元素相邻)、插空法(元素不相邻)、间接法(正难则反)等等，而多条件排列组合问题其实也逃不出这几种基础方法的组合，只要能够按照步骤一步一步将所有条件按照方法满足，多条件的排列组合问题也自然迎刃而解了。
例1.三个学生和两个老师在排练合唱队形时候需要站成一队，两个老师必须站一起，且不能站在最边上，那么共有几种排列方法?（ ）
A.36 B.24 C48 D.120
【答案】B。解析：求方法数，是排列组合问题的典型题型。在这道题目里，我们一共有两个条件：(1)两个老师必须相邻。(2)老师不能站在最左侧或者最右侧。首先我们来整理一下这两个条件对应的方法，(1)必须相邻用捆绑法。(2)不站两侧用优限法。接下来方法确定了则一步一步进行排序，首先将两个老师看成一个整体，内部存在顺序要求为
，捆绑完后因为两个老师需要插空，则优先排好3个学生，由于有顺序要求，则为，最后，将捆绑的老师放入他们之间的空里面，2个空选一个，则为，由于分三步，分步计算，方法数相乘：×=24，故选B。
例2.两对夫妇各带一个小孩乘坐有6个座位的游览车，游览车每排只有1个座位。为安全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸;两个小孩一定要排在一起。那么，这6人的排座方法有多少种?（ ）
A.36 B.24 C48 D.120
【答案】B。解析：求方法数，是排列组合问题的典型题型。在这道题目里，我们一共有两个条件：(1)两个爸爸分别坐首尾。(2)两个小孩必须坐一起。首先我们来整理一下这两个条件对应的方法。(1)爸爸有限制用优限法，(2)小孩一起元素相邻用捆绑法。接下来方法确定了则一步一步进行排序，第一步，先将两个爸爸排好，一头一尾，有顺序要求则为，第二步，将小孩看成一个整体，有顺序要求则为，先排列大集合，两个妈妈和小孩共三个大整体，有顺序要求则为。由于分两步，分步计算，方法数相乘：×=24，故选B。
总结：解决多条件的排列组合问题时，优限法→捆绑法→插空法往往是以这样的顺序来进行步骤的，大家也可以将它作为一种规律性的小技巧应用在题目中。
为何总是“差一点就成功”
在行测数量关系的试题中有这么一种题型，我们求解的过程中总要保证其在最不利的情况都能保证发生，也就是找离“成功”仅差“一步”的情况，今天带你学习这种题型——最不利原则。
一、什么是最不利原则
我们通过一个简单的例子来看一下：
例.在一个纸箱内放入99个红球、1个黑球，这些球除颜色以外，形状、大小、质地都是一样的，现随机从中不放回的摸球，每次摸一个，问至少摸几次就有可能摸到黑球?至少摸几次才能保证摸到黑球?
这个题一共两问，我们先来看下第一问，至少摸几次就有可能摸到黑球?相信大家都有答案了，摸1次就有可能。“至少……就有可能”这种问法是考虑最有利的情况下让事件发生，即考虑运气最好的情况。接下来看第二问，至少摸几次才能保证摸到黑球?此时摸1次可以保证摸到黑球吗?不能!摸1次有可能摸到的是红球。摸2次呢?2次是不是也保证不了?摸2次可能摸出的两个同样都是红球。3次、4次呢?是不是都保证不了……直到我们把红球全都拿出来后，再去摸1次才能保证摸到的是黑球。第二种问法就是考虑最不利的情况下让事件发生，即考虑最糟糕的情况、离成功一步之差的情况。而最后的答案是在最不利的情况下再去摸1次就可以了，即保证数=最不利情况数+1。
通过上面的例题我们可以发现，最不利原则的题型特征是题目所求出现类似“至少……才能保证(就一定)”的表述。这类题目需要考虑最不利的情况，即与成功一线之差的情况，题目所求结果一般为最不利情况数+1。
二、经典例题
例1.一个盒子里装有红球5个、黄球9个、蓝球12个，每次摸1个球放到盘子里，最少摸几次，才能保证一定有6个是同色的?（ ）
A.6 B.15 C.16 D.17
【解析】答案C。题干问法中出现“至少…才能保证”，属于最不利原则的题目，要考虑离成功一步之差的情况，即每个颜色的球都先拿出5个，都差一点有6个但是没有达到6个，然后再从剩下的球中摸1个，就会有6个球是同色的。所以至少要摸出5+5+5+1=16次。故正确答案为C。
例2.某高校举办的一次读书会共有37位学生报名参加，其中中文、历史、哲学专业各有10位学生报名参加了此次读书会，另外有4位化学专业的学生和3位物理专业的学生也报名参加了此次读书会，那么一次至少选出多少位学生，将能保证选出的学生中至少有5位学生是同一专业的?（ ）
A.5 B.12 C.19 D.20
【解析】答案D。要保证选出的学生中至少有5位学生是同一专业的，考虑最不利情况：选出中文、历史、哲学和化学专业各4位学生，物理专业3位学生。此时从剩下的学生中选出一人，即可满足条件。所以至少需要选出4+4+4+4+3+1=20位学生。故正确答案为D。
最不利原则题目解题的关键点就是找到“差一点就成功”的情况，掌握这个关键点最不利原则这个“倒霉孩子”将变得很可爱。
