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【答案】B【解析】本题为行程问题，存在s=v×t，且由题可知两种飞行方式路程s不变，那么v和t成反比，原计划和实际速度比为12：15=4：5，则原计划和实际时间比为5：4，说明原计划用5份时间，实际用4份时间，差1份时间，对应题干的30分钟，那么原计划时间为5×30=150分钟，实际时间为4×30=120分钟。机场到灾区的距离为12×150=15×120=1800千米。故本题选B。

【例题2】某公司计划采购一批电脑，正好赶上促销期，电脑打9折出售，同样的预算可以比平时多买10台电脑。问该公司的预算在平时能买多少台电脑？（）

A.60 B.70 C.80 D.90

【答案】D【解析】本题没有太多的数据，第一眼看感觉好像不能做，但是仔细分析，存在关系：预算=单价×数量，根据题干可知预算不变，那么单价和数量成反比，原计划和打折后单价之比为10：9，数量之比为反比，即9：10，也就是原计划能买9份电脑，实际可买10份电脑，差1份电脑，对应题中的10台电脑，那么原来(平时)能买9×10=90台电脑。故本题选D。

以上就是两道数量关系中正反比题目的展示，大家可以看出来知识点不是很难，只要我们能找M=A×B的关系以及不变量，就能够利用正反比解决相关问题。

解决最不利问题需要“坏运气”

今天为大家介绍数量关系中一种常见题型：最不利原则。

【基础理论】

1.题型特征

【例题】一个不透明的袋子当中有4个黑球和4个白球，所有球除了颜色不同外，形状和大小都相同。

(1)请问至少要从袋子中拿出多少球可能有2个球的颜色不同？（）

A.2 B.3 C.4 D.5

(2)请问至少要从袋子中拿出多少球才能保证有2个球的颜色不同？（）

A.2 B.3 C.4 D.5

上面的例题当中，我们的目的都是使2个球颜色不同，但是这里需要区分这两种问法的不同之处：问题(1)的问法是“可能”有2球颜色不同。我们不妨先拿出2个球，这两个球颜色有可能是2黑，也可能是2白，也可能是1黑1白，也就是只用拿出2个球就可能出现颜色不同的情况了。

问题(2)的问法是“保证”有2球颜色不同。如果我们只拿出2个球，有可能是2黑，也可能是2白，也可能是1黑1白，不能保证有2球颜色不同的情况一定发生。我们再考虑拿3个球的情况，有可能是3黑，也可能是2黑1白，也可能是1黑2白，也可能是3白，同样不能保证有2球颜色不同的情况一定发生。我们接着考虑拿4个球的情况，有可能是4黑，也可能是3黑1白，也可能是2黑2白，也可能是1黑3白，也可能是4白，同样不能保证有2球颜色不同的情况一定发生。我们再考虑拿5个球的情况，有可能是4黑1白，也可能是3黑2白，也可能是2黑3白，也可能是1黑4白，这样每种情况都有2个球的颜色不同，正好满足题目要求。所以，至少要从袋子中拿出5个球才能保证有2个球的颜色不同。

而最不利原则问题的典型问法就是问题(2)中的问法，题干中往往会出现“至少……才能保证……”的类似表述，求要保证某件事发生的最少情况数，这就是最不利原则的题型特征。

2.解题原则

上面我们是用枚举法找到满足“保证有2个球的颜色不同”的最少拿球的数量，但是用枚举法解决问题会比较麻烦。

这里我们不妨分析出最不利的情况，也就是刚好不满足题目要求的情况。题干要求有两个球不同色，所以最不利情况就是摸出的球颜色都相同。我们假设从拿出第一个球开始，后面拿出的球都是同色的，这样直到拿出第四个球后，四个球都是同色的，此时仍然不满足题目要求，这就是最不利的情况。而剩余的球都与拿出的4个球不同色，这样再拿一个球就一定能保证有2个球的颜色不同了。

所以最不利问题的解题思路就是：找到最不利的情况数，再加1就解决了问题。

【例题1】一个盒子里装有红球5个、黄球9个、蓝球12个，每次摸1个球放到盘子里，最少摸几次，才能保证一定有6个是同色的？（）

A.16 B.17 C.19 D.21

【答案】A【解析】根据题干中“至少……才能保证”判定是最不利原则问题。我们先找到最不利的情况数，要保证6个颜色相同，最不利的情况就是摸出的球最多都是5个同色，也就是红球、黄球和蓝球都先分别摸出5个球，这样再摸出1个球就能保证有6个球是同色的。所以最少摸球的次数为：5×3+1=16次，故本题选A。

【例题2】从一副完整的扑克牌中，至少抽出几张才能保证有三张相同花色？（）

A.9 B.10 C.11 D.12

【答案】C【解析】这道题要保证有三张花色相同，最不利的情况就是红桃、黑桃、方块和梅花这4种花色手里都分别有两张相同花色，再抽出大小王两张。那么再抽一张，就一定能保证和手里的某两张凑成一样花色的三张。所以最少抽牌的数量是：2×4+2+1=11张，故本题选C。

【例题3】梅花小区组织党员参与“两学一做”相关主题演讲、征文、摄影、书法和绘画五项比赛，要求每名党员参加其中的两项，无论怎么安排都发现至少有7名党员参加的培训内容完全相同，问小区至少有几名党员？（）

A.50 B.51 C.60 D.61

【答案】D【解析】从五项比赛中选择两项，没有顺序要求，所有的培训内容共最不利的情况是每种培训内容都有6名党员参加，这样我们再加1名党员参加，就能保证至少有7名党员参加的培训内容完全相同。所以党员人数最少有：10×6+1=61名，故本题选D。

学会隔板模型解决“至少分一个”难题

今天分享给大家在排列组合问题中十分常见的题型，即隔板模型。

在这里需要注意的是，此类隔板模型问题就是将n个相同元素分给m个不同的对象，每个对象至少分得1个，且没有剩余。则假设将n个元素一字排开，中间产生出n-1个空，用m-1个木板放入n-1个空中，就是分配方法的总数，即共有

这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：

1.所要分的元素必须完全相同；

2.所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；

3.每个对象至少分到1个，决不允许出现分不到元素的对象。

一、简单应用：题干满足隔板模型的所有条件

【例题】公司采购了一批同一型号的新电脑，总共11台，计划分给公司内的4个部门，每个部门至少分得一台，最终要将电脑分完，那么总共有多少种分配方法？（）

A.100 B.110 C.120 D.130

【答案】C【解析】这道排列组合题目中，同一型号电脑11台，即对应11个相同元素，分给公司4个部门即对应分给4个不同的对象，要求分配完且每个部门至少分1台，最终要分完，完全符合隔板模型，直接用公式得：

二、复杂应用：题干不满足模型的第3个条件，但是可以通过转换使之满足

【例题1】将15个完全相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的小球数量不得小于其自身的编号数字，且不得有剩余的小球。那么有多少种分配方法？（）

A.48 B.56 C.64 D.72

【答案】B【解析】这个排列组合问题中，15个完全相同的小球即对应15个相同的元素，编号为1，2，3，4的四个盒子即对应四个不同的对象，且要求不得有剩余，唯一不符合我们给出公式的条件是，不是每个盒子里至少放一个小球，而是每个盒子的小球数量不小于其自身的编号，即1号盒子至少放1个小球，2号盒子至少放2个小球，以此类推，所以我们需要将条件转换。这里假设，1号盒子不动，给2号盒子先放1个小球，3号盒子先放2个小球，4个盒子先放3个小球，那么此时还剩9个小球，并且4个盒子都至少仍需要放一个小球，则此时条件符合使用公式，即将剩下的9个小球放入4个盒子中，每个盒子至少放一个小球，直接用公式得：故本题选B。

【例题2】教师节当天，某班级准备了8捧相同的花，送给4位老师，要求随意分，分完即可，共有多少种分配方法？（）

A.145 B.155 C.165 D.175

【答案】C【解析】这个排列组合问题中，显然8捧相同的花对应条件中8个相同的元素，4位老师对应4个不同的对象，分完即可表明没有剩余，但随意分意味着并不是每一位老师至少分得一捧花，有可能某老师并没有分到花，所以此时我们仍需要将条件进行转换。这里假设，这个班级又借来4捧花，现在就有12捧花，则此时如果按照每位老师至少分得1捧，最后再从每位老师手中收回一捧花，则既满足我们公式的条件，又没有改变分配结果。故相当于求将12捧花分给4位老师，每位老师至少分得一捧的情况数，直接用公式求得：故本题选C。