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【答案】91种【解析】本题由题干信息可知，按照要求伯伯家至少1份，爸妈家至少3份，爷爷家至少4份，并不满足“每个对象至少分到1个元素”的条件，但如果把题干信息整理、变形来看，将20份礼物中的2份先给爸妈家，再给爷爷家3份，这时还剩下15份礼物，就相当于信息转化为“将剩余的15份相同礼物分给三家，要求每家至少1份礼物”，符合隔板模型问题所有特征，那么，应计为分法。

通过以上例题可以发现，要分相同元素给不同对象但题干条件不满足的情况下，可以通过“先分”和“先借”将题干条件转化为“每个对象至少分到1个元素”，进而用隔板模型解决。

了解完隔板模型的三步走，就会发现这类特殊的排列组合也可以快速掌握并有效解决，点滴积累，立志公成。

整除思想

【核心思想】

通过分析所求量的整除特性结合选项进行排除，从而选出正确选项。

【适用范围】

1.题干文字描述中出现“整除、每、平均、倍”等字眼；

2.数据体现“分数、百分数、比例”等数据。

【例题1】学校有足球和篮球的数量比为8：7，先买进若干个足球，这时足球和篮球的比变为3：2，接着又买进一些篮球，这时足球和篮球数量比为7：6.已知买进的足球比买进的篮球多3个，原来有足球多少？（）

A.48 B.42 C.36 D.30

【答案】A【解析】本题求的是原来的足球数量，即选项4个答案说的都是原来的足球数量，所以我们在求解的过程中可以只关心原来的足球数量，而在题目中与原来足球数量相关的只有这一句话：“学校有足球和篮球的数量比为8：7”，也就是说原来的足球无论有多少个，都可以被平均分8组，这样才可以达到和篮球“8：7”的比例，且足球数量必须是整数，故而得知足球总数必定被8整除，而我们选项中只有48可以被8整除，故本题选A。

【例题2】（2013国考）两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所手里的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？（）

A.48 B.60 C.72 D.96

【答案】A【解析】“甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件”，案件数是正整数并且出现了百分数，所以考虑使用整除思想，因此由17%可知甲派出所受理总案件无论是多少件，都必须要能够分成100份，并且其中17份是刑事案件，因此，甲派出所总案件数必须是100的倍数，结合“共受理案件160起”可知甲派出所受理案件100起，乙派出所受理案件60起，再由“乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件”可知乙受理非刑事案件占80%，因此所求为60*80%=48(起)，故本题选A。

工程问题中多者合作问题怎么快速解答

【利用最小公倍数】

题目中出现多者独立完成工作的时间，那么我们就可以设他们独立完成工作时间的最小公倍数为工作总量，从而可以把他们相应的效率一一表示出来。

【例题】小刘的新房现要装修，甲师傅单独施工需要10天完成，乙师傅单独施工需要15天完成。若两位师傅合作施工，需要几天完成？（）

A.10 B.15 C.6 D.8

【答案】C【解析】方法一：设工程总量为w，共同工作所需时间为t，则甲、乙的效率为

方法二：已知甲、乙师傅单独施工分别需要10天和15天，可设工作总量w为他们时间的最小公倍数为30，则甲、乙的工作效率分别为3和2，那么他们合作完工需要30÷(3+2)=6天。

【利用效率之比】

如果题目给出多者之间的工作效率之比，那么我们就可以直接将各自效率的比值当作各自的效率去计算。

【例题】甲、乙、丙三个工程队完成一项工作的效率比为2：3：4。某项工程，乙先做了1/3后，余下的交由甲与丙合作完成，3天后完成工作。问完成此工作公用了多少天？（）

A.6 B.7 C.8 D.9

【答案】A【解析】方法一：甲、乙、丙的效率之比为2：3：4，则可设甲、乙、丙的效率分别为2p、3p、4p。由题意可得，甲丙合作3天完成了总量的，则工作总量为那么完成此项工程公用了3+3=6天。

方法二：已知甲、乙、丙的效率之比为2：3：4，可直接将甲乙丙的工作效率当作2、3、4来处理。由题意可得，甲丙合作3天完成了总量的，则工作总量为那么完成此项工程公用了3+3=6天。故本题选A。

【利用效率相同设为单位“1”】

题目出现“每人”、“每台机器”等字样时，我们通常将“每人”、“每台机器”的效率当作“1”来处理，从而达到简化计算的目的。

【例题】修一条公路，假设每人每天的工作效率相同，计划180名工人1年完成，工作4个月后，因特殊情况，要求提前2个月完成任务，则需要增加工人多少名？（）

A.50 B.65 C.70 D.60

【答案】D【解析】方法一：设每人每个月的效率为p，增加的工人为x，则有解得x=60。

方法二：题目中出现了“每人每天的工作效率相同”，则可设每个工人每个月的效率为1，同时设需要增加x名工人，则有解得x=60名。故本题选D。

“和定最值”题型

【知识铺垫】

和定最值的核心：已知几个量的和一定，去求其中某个量的最值(最大值或最小值)。

解题的原则：要想求某个量的最大值就让其他量尽量小；要想求某个量的最小值就让其他量尽量大。

【例题1】已知两个不同的正整数之和为15，这两个数中较大的数最大为多少？（）

【答案】14【解析】假设这两个数按照编号为“一”最大，“二”最小，根据解题原则要想求最大的量尽量大，因为两数之和一定，故让另一个数尽量小，又第二个数字需满足为正整数，那么最小只能为“1”，则较大的数最大为15-1=14。

【例题2】某企业参与兴办了甲、乙、丙、丁4个扶贫车间，共投资450万元，甲车间的投资额是其他三个车间投资额之和的一半，乙车间的投资额比丙车间高25%，丁车间的投资额比乙、丙车间投资额之和低60万元。企业后期向4个车间追加了200万元投资，每个车间的追加投资额都不超过其余任一车间追加投资额的2倍，问总投资额最高和最低的车间，总投资额最多可能相差多少万元？（）

A.70 B.90 C.110 D.130

【答案】C【解析】题目已知四个车间最开始总投资为450万元，根据题目描述，假设甲车间所得投资额为x万元，则乙丙丁共得投资额为2x元。x+2x=450，则x=150；则乙丙丁车间投资额之和为300万；根据题目条件可设丙为y，则乙车间为1.25y，丁车间为2.25y-60；则有y+1.25y+2.25y=300，解得y=80，则各车间所得投资额如下图所示：

后期追加投资额为200万元，假设四车间所得投资额分别为a、b、c、d万元，且每个车间的追加投资额都小于等于其余任一车间追加投资额的2倍，以a为例：a≤2b，a≤2c，a≤2d。要想总投资额最大的车间和总投资额最小的车间相差最多，则需要让最开始得到投资额最多的车间得到追加的投资额最多，最开始得到投资额最少的车间得到追加投资额最少即可，丙车间原本最少，假设它追加投资额为z(即四车间最少得到追加投资额为z)，甲车间原本最多，其追加投资额最多为2z。

根据和定最值解题原则：已知四个车间所得投资额之后为200万元，要想甲车间得到投资额2z尽量多，则乙丙丁的投资额尽量少，最少均为z，则有2z+z+z+z=200，z=40；则总投资额最大的车间和总投资额最小的车间相差最大为150+80-(80+40)=110万元，选C。

【例题3】某地10户贫困农户共申请扶贫小额信贷25万元，已知每户申请金额都是1000元的整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2倍，且任意2户农户的申请金额都不相同。问申请金额最低的农户最少可能申请多少万元信贷？（）

A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8

【答案】B【解析】将10户贫困户按照得到信贷从最高到最低编号为“一、二、......九、十”已知10户贫困户所得信贷总和为25万元。根据和定最值解题原则，要想求某个量的最小值就让其他量尽量大。求最低的农户(第十户)最少的金额，假设其为x万元，则金额最多的贫困户最多为2x万元。且每户金额均为1000元(0.1万)的整倍数且各不相同，则每家所得信贷金额如图所示：

则有2x+2x-0.1+2x-0.2+2x-0.3+2x-0.4+2x-0.5+2x-0.6+2x-0.7+2x-0.8+x=25，x=1.5X，因为本题1.5X为最小值，不能取比1.5X更小的数值，故取x=1.6。则本题申请金额最低的农户最少为1.6万元，故本题选B。

通过上面这两道题目可以总结出：首先，可以通过题目特征“已知几个量的和一定，求其中某个量的最值”判断出题型。其次，根据解题原则“要想求某个量的最大(小)值，就让其他量尽量小(大)”，结合表格和箭头方向呈现最大或最小值的情况解题。